Cálculo – Parte 1

Introdução

Em Física, como se sabe, utilizamos de uma poderosa arma: a Matemática. Não nos restringimos, naturalmente, à Matemática do Ensino Médio, mas, indo além, utilizamos amplamente do Cálculo, por exemplo. Pretendo, em breve, publicar um pequeno estudo sobre as Leis de Newton e, para tanto, irei necessitar do Cálculo, além de entidades matemáticas chamadas vetores. Para não deixar os leitores abandonados à própria sorte, antes do estudo das Leis da Dinâmica iremos estudar os pré-requisitos para compreender tais Leis. Começaremos isto hoje, neste artigo, introduzindo os conceitos de continuidade e limite de forma intuitiva; posteriormente tornaremos rigorosos esses conceitos, além de aprendermos um pouco sobre derivadas e, Cálculo à parte, também sobre os vetores. Não irei abordar o assunto em grandes detalhes, por questões de espaço; no entanto, tentarei apresentar um conteúdo satisfatório, além de, ao final, deixar recomendações para um estudo mais aprofundado. Também assumo, por parte do leitor, uma certa familiaridade com a Matemática elementar, principalmente com funções e o conjunto dos números reais, (1).

Continuidade e Limite

Sejam e .

Seus gráficos, respectivamente, são:

Gráfico da função

e

Gráfico da função

Pode-se facilmente perceber que a linha que corta o gráfico de segue ao longo dele sem nenhuma interrupção; ao contrário, a linha que corta o gráfico de apresenta um “salto” no ponto . Pois bem: quando a linha que corta o gráfico de uma função qualquer passa por um ponto sem “saltar”, dizemos que a função é contínua nesse ponto . Em nosso exemplo a função é contínua em todo ponto de seu domínio, ao passo que a função não é contínua no ponto .

Agora, observemos o seguinte gráfico:

Noção de limite de uma função

Veja que quando se aproxima de , então se aproxima de , de modo que quanto mais próximo de estiver , mais próximo de estará ; sem que, no entanto, . Dizemos, então, que o limite de , quando tende a é ; matematicamente:

Note que isso só acontecerá se a função estiver definida e for contínua em . Do contrário ter-se-á que

Neste caso é o valor que a função deveria ter para ser contínua no ponto dado.

Exemplos

Exemplo 1. Seja . Ela é contínua no ponto ? Calcule seu limite nesse ponto, caso exista.

Conforme vimos no primeiro gráfico ela é contínua em todo ponto de seu domínio; logo, também em . O valor de seu limite no ponto dado é, então

Exemplo 2. Seja . Ela é contínua em ? Calcule seu limite, caso exista.

Montando o gráfico podemos constatar que ela não é contínua em e, portanto, seu limite não existe nesse ponto; ou seja, . Devemos, então, encontrar o valor que a função deveria ter para ser contínua em . Fazemos isto, assim: para temos que

,

visto que os termos iguais se cancelam. Portanto,

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Conclusão

Espero que esta breve introdução aos fundamentos do Cálculo tenha sido suficientemente clara, agradável e útil. Espero também que os próximos artigos permaneçam assim, também. Para um estudo mais aprofundado, consulte os seguintes livros:

1- Fundamentos de Matemática Elementar, Vol 8 – Gelson Iezzi.

2- Um Curso de Cálculo, Vol 1 – Luiz Hamilton Guidorizzi(2).

3- Calculus – Michael Spivak.

Notas

(1) – Uma ótima introdução ao assunto, bem como, na realidade, a toda a Matemática básica, é a coleção Fundamentos de Matemática Elementar, já citada.

(2) – O terceiro gráfico deste artigo foi retirado do capítulo três, sessão 1, do livro em questão.

Nota complementar – Os demais gráficos foram feitos no Linux Slackware 13.37, através do software KmPlot.

Estudando Astrofísica

Nota Inicial

Esta postagem foi, originalmente, colocada no fórum da comunidade do nosso Blog e, agora, é postada aqui, com algumas modificações, afim de adaptar o texto ao ambiente de um Blog. Este roteiro de estudos está um tanto quanto incompleto e, além disto, reflete, em parte, meus gostos e opiniões pessoais. No entanto, serve como guia seguro para um estudo de alto nível em Física e Matemática, com enfoque em Física e Astrofísica.

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Introdução

Creio que existam muitas pessoas que visitam este Blog que embora tenham um interesse em Astrofísica, não sabem por onde começar a estudar essa matéria, e por isso se restringem a ler textos mais informais, de divulgação. Estes, embora legais, não são bons no sentindo de passar à pessoa uma base sólida. Então vou tentar colocar algumas diretrizes aqui para facilitar o estudo de Astrofísica.

Para começar: Astrofísica, como sabemos, é um ramo da Física. Logo, para estudar Astrofísica com sucesso devemos ter bons conhecimentos de Física. Um exemplo: em Astrofísica Estelar usa-se conhecimentos de inúmeros outros ramos da Física, como Termodinâmica, Física de Plasmas, etc. Quais são os pré-requisitos para se estudar Física? Apenas dois: 1- Vontade; 2- Matemática. Portanto, os pré-requisitos para o estudo da Astrofísica são basicamente ter uma boa base de Física e de Matemática. Afora, claro, vontade de aprender e estudar.

Entre os visitantes, há dois tipos de interessados no assunto: 1- Os que querem seguir ou já seguem a carreira de Físicos/Astrofísicos; 2- Os que têm um interesse amador no assunto, por hobby. No meu ver, acho o seguinte: quem tem um interesse amador não deve de modo algum evitar estudos mais aprofundados e avançados. Acho que deve mesmo ir com a cara e a coragem e estudar pra valer. Não há recompensa maior após um dia de estudos do que ir dormir com mais conhecimentos do que acordou. Isso vale também para os leigos que tem interesse amador na área. Portanto, vou passar aqui diretrizes para um estudo completo e cada vez mais aprofundado. Uma vez que dá pra ir com segurança direto para o estudo de uma Coleção de Física Básica à nível de Graduação, não há motivos para se ocupar da Física do ensino médio, que é muito superficial. Mas não há como estudar Matemática superior sem a Matemática do ensino médio. Não vou me ater, portanto, ao ensino médio, exceto na parte de Matemática.

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Matemática

Matemática Básica

Começaremos o estudo pela Matemática. Antigamente a Matemática do ensino médio era muito mais completa, chegando mesmo a abordar noções de Cálculo, o que não ocorre hoje em dia, até onde sei. Por isso a formação Matemática de alguém que acaba de sair do ensino médio não é tão satisfatória quanto deveria ser. Sem uma boa base Matemática não se vai a lugar algum no mundo das Exatas, portanto, vamos estudar Matemática! Para adquirir os conceitos de Matemática Básica recomendo a seguinte coleção:

• “Fundamentos de Matemática Elementar“, 11 volumes - Gelson Iezzi, et al.

Essa coleção é simplesmente a melhor coleção para quem quer adquirir uma sólida base Matemática. Há outras coleções igualmente boas, mas não irei indicar pois nunca estudei essas outras coleções; fora o fato de que os FME dão conta do recado com excelência. Apenas seria interessante estudar determinados assuntos através de outros livros, também. Por exemplo: no Vol 4 do FME é feito o estudo de matrizes, sistemas lineares, etc. Um ótimo complemento para tal estudo é:

• “Álgebra Linear e Aplicações” - Carlos Alberto Callioli, et al.

Esse livro é um clássico. E além de servir de complemento ao estudo do FME 4, tem a vantagem de ser um livro muito mais completo e detalhado, que desenvolve o assunto de forma simples, didática, mas muito eficaz.

A coleção dos FME é composta, como já dito, de 11 volumes. São eles:

• Volume 1 – Lógica, Conjuntos e Funções
• Volume 2 – Exponenciação e Logaritmos
• Volume 3 – Trigonometria
• Volume 4 – Sequências, Sistemas Lineares, Matrizes e Determinantes
• Volume 5 – Combinatória e Probabilidade
• Volume 6 – Números Complexos e Polinômios
• Volume 7 – Geometria Analítica
• Volume 8 – Noções de Cálculo Diferencial e Integral
• Volume 9 – Geometria Plana
• Volume 10 – Geometria Espacial
• Volume 11 – Matemática Financeira

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Matemática – Cálculo

Após o estudo dos FME – que pode ser feito entre 4 meses e 1 ano – terá a pessoa a base adequada para iniciar o estudo de Matemática Superior e Física. Poderá usar – e é mesmo interessante que use – material suplementar de estudo, como o exemplo que dei sobre matrizes, sistemas lineares, etc. Dependendo do resultado deste tópico eu poderia mesmo colocar materiais suplementares à medida em que eu próprio for tendo acesso a eles.

O Vol 8 dos FME trata de noções de Cálculo. Terminado tal estudo, e antes mesmo de terminar a coleção inteira, a pessoa poderá estudar Cálculo – que é uma constante em Física – de forma aprofundada através da seguinte coleção:

• “Curso de Cálculo“, 4 volumes - Hamilton Guidorizzi.

Essa coleção também é excelente e proporciona a pessoa uma boa base de Cálculo. Outros livros poderão ser usados como complemento ou para desenvolver ainda mais o tema.

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Física

Física Básica

Após adquirida essa boa base Matemática, enfim pode ser começado o estudo de Física. Como disse antes, não há motivo de se estudar a Física do ensino médio, exceto para ganhar uma noção básica e superficial sobre o tema. No entanto, pode-se com muita tranqüilidade estudar Física Básica através de livros de Graduação, desde que se tenha a base Matemática para tanto. Suposto esteja ela adquirida com as dicas da sessão sobre Matemática, vamos as dicas sobre Física.

Um livro excelente, que dispensa comentários, e que oferece uma sólida base de Física ao estudante é:

• “Curso de Física Básica“, 4 volumes - Moysés Nussenzveig.

Com tal coleção aprendemos o mínimo de Física que devemos saber para estudar Astrofísica – ou outros ramos da Física – com sucesso. Com tal estudo tem-se a base necessária para um estudo proveitoso de Astrofísica. Mas como o objetivo é proporcionar um estudo cada vez mais avançado, podemos estudar em seguida outros livros, como, por exemplo:

• “Mecânica” - João Barcelos Neto.
• “The Feynman Lectures on Physics“, 4 volumes - Richard Feynman.
• “Quantum Mechanics – A Modern Development” - Leslie Ballentine.
• “Road to Reality” - Roger Penrose.

Desses quatro um dos mais famosos – e com razão – é o do Feynman. Dispensa maiores comentários do que este: foi escrito pelo Feynman! Outras indicações interessantes sobre Física podem ser encontradas neste “Roteiro Para Estudo“, do professor da Universidade de São Paulo (USP), Henrique Fleming. Ademais, devo dizer que eu, particularmente, considero como um dos caminhos de alto nível para o aprendizado de Física o estudo dos livros do professor Moysés Nussenzveig seguido dos do Richard Feynman. É uma opinião pessoal e, como tal, relativa. Mas a deixo aqui registrada como dica de estudo.

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Astrofísica

E, então, enfim, Astrofísica! Dois livros bem interessantes sobre o tema são:

• “Astronomia e Astrofísica” - Kepler de Souza Oliveira Filho e Maria de Fátima Oliveira Saraiva.
• “Introdução à Astronomia e Astrofísica” – Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE).

A partir daí existem livros que abordam áreas específicas comoAstrofísica de Partículas e Astrofísica Estelar. E também livros que abordam determinados temas, como estrutura e evolução estelar, remanescentes estelares, etc. Sobre esses obviamente não vou tratar, já que são temas muito vastos e que devem ser estudados de acordo com o interesse particular da pessoa. No entanto, para quem, como eu, gosta de Astrofísica Estelar, nunca deixo de recomendar o seguinte livro:

• “Introdução à Estrutura e Evolução Estelar” - Walter J. Maciel.

Se trata de um livro avançado, mas ainda de Graduação. Trata de temas muito interessantes e trás, ao final de cada capítulo, exercícios e referências variadas.

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Astrofísica de Partículas

Após a postagem do meu roteiro no fórum do Orkut, recebi um pedido para indicar livros sobre Fisica e Astrofísica de Partículas. Seguem aqui, também.

Uma introdução bacana ao assunto é o livro:

• “An Introduction To The Standard Model Of Particle Physics” - W. N. Cottingham & D. A. Greenwood.

Em seguida temos:

• “Particle Astrophysics” - Donald Perkins.
• “Astrophysics At Ultra-High Energies” - Maurice M. Shapire, et al.

Uma nota importante que devo ressaltar é que nunca li estes livros inteiros, mas somente trechos esporádicos. No entanto, pelo pouco que li, gostei muito do conteúdo. Espero que sejam úteis no estudo de Física e Astrofísica de Partículas.

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Nota Final

Uma nota importante que devo dizer: não é necessário haver estudado tudo isso afim de iniciar os estudos de Astrofísica. As dicas que passei são para eliminar todas as dificuldades e permitir que se vá fundo nalgum estudo envolvendo Física e Astrofísica. Mas isto não impede a pessoa de ler e entender muito material envolvendo Física e Astrofísica. Um exemplo é esta comunidade, mesmo. Ela oferece conhecimentos de Física e Astrofísica sem que haja a necessidade de que a outra pessoa seja um expert no assunto. Então, o lance é ir estudando tudo isso, mas ir lendo e absorvendo o máximo de Física e Astrofísica que for possível enquanto a Matemática vai sendo adquirida! Metam a cara, mesmo: estudem pra valer, dediquem um tempo de seus dias ao estudo do que vocês gostam e têm como hobby! E se gostam tanto ao ponto de irem cursar Física, então estudem mais ainda! Não tenham medo de ficar 12, 13, 14 horas com os livros abertos. Tenham medo é de não fazer isso, tenham medo de estudar só na véspera, tenham medo de ter uma visão restrita de Física, de não cuidar direito da base… Porque sem uma boa base ninguém chega a lugar algum. E não tendo disciplina de estudar pra valer não conseguirá se formar ou se tornar um profissional competente. Estudem como se suas vidas dependessem disso – porque, no final, dependem mesmo: é o estudo que dá competência às pessoas, e é a competência que dá trabalho, que dá dinheiro, que põe a comida na mesa.

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Conclusão

Uma nota final: todos os livros citados – excetos os em língua Inglesa – podem ser comprados no site Estante Virtual. Particularmente, compro meus livros de estudo lá e gosto bastante. Os em idioma Inglês provavelmente podem ser baixados em sites como o Gigapédia, ou comprovados via Amazon, AbeBooks, etc. Particularmente, recomedo este último, visto se tratar de um sebo excelente, com preços muito acessíveis: encontrei um livro lá que, com frete, sairia uns R$ 80,00, enquanto aqui no Brasil estava mais de R$ 200,00!

Solução de Exercícios de Física e Astrofísica

Há tempos não tenho postado aqui, principalmente no que se refere a matérias interessantes sobre Física e Astrofísica. Prometo continuar a série sobre o Sistema Solar e dar início a outras mais em breve! Dentre estas outras matérias, está um novo projeto: resolução de listas de exercícios. Funcionará da seguinte maneira: pegarei uma determinada lista de exercícios que envolva principalmente Astrofísica e, aos poucos, à medida do possível, vou resolver item por item aqui, em postagens diversas.

Kepler de Souza Oliveira Filho e sua esposa Maria de Fátima Oliveira Saraiva, ambos Astrofísicos da Universidade Federal do Rio Grande do Sul, muito conhecidos pelo fabuloso livro “Astronomia e Astrofísica“, mantém uma versão online do mesmo. No site há algumas outras páginas interessantes, como testes de conhecimento em Física e Astrofísica e… Listas de exercícios! Há diversos temas envolvendo Astronomia e Astrofísica: desde Fotometria e Distâncias Estelares até Classificação, Evolução e Estrutura Estelar, Remanescentes Estelares, Galáxias e Cosmologia. Pretendo usar essas listas de exercício aqui. E, no futuro, à medida em que forem sendo terminadas, irei acrescentando outras, como as listas de exercícios da Coleção de Física Básica do Moysés Nussenzveig e também de livros de Astrofísica, como os do Walter J. Maciel.

Pretendo dar início ao projeto utilizando a lista de exercícios 8, cujo tema é “O Sol – Estrutura, Fonte de Energia e Evolução“. Espero sinceramente que gostem e aproveitem bastante. Se possível, começarei a resolução até o fim da semana que vem.

E, para terminar, uma perguntinha para pensar: qual a relação entre a 2ª Lei de Kepler e o Momento Angular? Dia mais, dia menos, abordo essa questão aqui. Aguardem!

Arxiv Selection

- Evidence of small-scale magnetic concentrations dragged by vortex motion of solar photospheric plasma – L. Balmaceda, S. Vargas Domínguez, J. Palacios, L. Cabello, V. Domingo.

- Dark Matter that can form Dark Stars – P. Gondolo, Ji-Haeng Huh, Hyung Do Kim, S. Scopel.

- Optical microvariability in Quasars: Spectral Variability – A. Ramirez, D. Dultzin, J. A. de Diego.

- QMC and the nature of dense matter: written in the Stars? – J. D. Carroll.

- Gravitational Waves Astronomy: the ultimate test for Einstein’s General Relativity – Christian Corda.

- Advances in Spectral Classification – Sunetra Giridhar.

ArXiv Selection

Explicação Inicial

Quem, como eu, acompanha o Blog Ars Physica, sabe que um dos editores, o Daniel Ferrante, mantém uma excelente sessão chamada “A Semana nos ArXivs…“, onde posta algumas excelentes dicas de leitura de papers (artigos Científicos) selecionados.

A minha idéia é, justamente fazer algo semelhante e compartilhar alguns artigos interessantes que forem surgindo – na verdade, todo dia tem, mas eu não costumo ler os ArXivs todos os dias ainda e nem sempre tenho condições de postar aqui, então, postarei novos papers à medida do possível.

Minha seleção será principalmente centrada em artigos de Física e Astrofísica, obviamente. E, basicamente, selecionarei os artigos da seguinte forma: os títulos mais interessantes terão seus abstract lidos e, dessa leitura sairá a seleção final. Ou seja: nem sempre os papers postados aqui terão sido lidos totalmente por mim. Acho que é de bom-tom avisá-los disso desde já.

Um adendo final: para quem não sabe, o ArXiv é um site fundado pela Cornell University Library com o intuito de hospedar centenas de papers e-print em diversas áreas da Ciência: Física, Matemática, Computação, etc… O melhor de tudo é que todos os papers são Open Access, o que implica diretamente em o ArXiv ser um site que contribui com propostas Open Science (1), que sempre são mais que bem-vindas!

ArXiv Selection

- “Dwarf-Galaxy Cosmology” – Regina Schulte-Ladbeck, Ulrich Hopp, Elias Brinks, Andrey Kravtsov.

- “Hidden Conformal Symmetry of the Kerr Black Hole” – Alejandra Castro, Alexander Maloney, Andrew Strominger.

- “Electrostatic Interaction in Plasma with Charged Bose Condensate” – Angela Lepidi.

- “Estimations of Total Mass and Energy of the Universe” – Dimitar Valev.

Notas

(1) – Sobre Open Science, recomendo fortemente a leitura do Manifesto Ciência Livre, presente no Ars Physica, bem como de suas referências, uma das quais – The Future of Science is Open – Part 1 – se encontra linkado aqui em nossa postagem.

O Sistema Solar – O Sol

Origens do Sol

O Sol, como vimos na postagem anterior, surgiu do colapso gravitacional de uma Nuvem Interestelar composta basicamente de H. Este colapso leva a Nuvem à contração, de modo que as regiões centrais vão progressivamente aumentando em densidade e temperatura, até que, num dado momento, o nível de densidade e temperatura chega ao mínimo para iniciar a produção de energia nuclear via fusão nuclear – neste ponto a Estrela sai da fase Proto-Estelar e entra na Seqüência Principal. Nessa altura da evolução a região central já está, desde há muito, em equilíbrio hidrostático, e aumentou sua densidade com a matéria das regiões mais externas da Nuvem Interestelar, que, não estando em equilíbrio, continuaram a cair em direção à Proto-Estrela; a energia é parcialmente perdida por processos de radiação. A energia na fase Proto-Estelar é emitida basicamente na região do infravermelho, pois a temperatura superficial é .

Para massas a densidade jamais chega a ser alta o suficiente para que haja a ignição da queima do H, o que leva tais Estrelas a tornarem-se Anãs Marrons. Após a ignição do H a Estrela entra na fase Seqüência Principal, na qual permanece a maior parte de sua vida. O tempo de permanência de uma Estrela na Seqüência Principal é dado por , onde, pela massa-luminosidade, temos , com , de modo que . Em outras palavras: quanto mais massiva é uma Estrela, menos tempo ela permanece na Seqüência Principal, pois consomem o H mais rapidamente que as menos massivas.

Produção de Energia e Estrutura Solar

A estrutura do Sol é como a estrutura de qualquer Estrela. De “dentro pra fora”, temos: (1) - Núcleo, (2) - Zona Radioativa, (3)- Zona Convectiva, (4)- Fotosfera, (5)- Cromosfera, (6)- Corona. Vemos, na imagem, ainda, alguns fenômenos que ocorrem na superfície do Sol: (7)- Manchas Solares, (8)- Grânulos, (9)- Proeminências.

O núcleo solar apresenta as seguintes características: seu raio é de ; sua densidade é de ; sua temperatura orça em torno de . Nele se processa a fusão nuclear do H em He, através da Cadeia Proton-Proton, que, a cada segundo, converte cerca de núcleos de H em núcleos de He, o que leva a uma taxa de produção de energia , ou mega toneladas de TNT por segundo! Parte dessa energia é carregada pelos neutrinos. Mais precisamente, para a Cadeia Proton-Proton 1, temos uma produção de energia transportada pelos neutrinos da ordem de , sendo que o resto – – não é transportado pelos neutrinos. Para a Cadeia Proton-Proton 2 temos um valor de para a energia transportada pelos neutrinos, com um resto de . E para a Cadeia Proton-Proton 3 temos um valor de para os neutrinos, com um restante de . Ora, se nós somarmos o total de energia das três Cadeias Proton-Proton, notaremos que a energia total sempre será de , o que não é coincidência, e cujo porquê será abordado em outra postagem – assim como a diferença entre as três Cadeias.

A zona convectiva apresenta as seguintes características: seu raio é de , sua temperatura varia entre 2-7 milhões de K e sua densidade varia de . O campo magnético do Sol tem sua origem na zona convectiva, pelo movimento das correntes elétricas. A energia produzida no núcleo e liberada em forma de luz e calor passa cerca de um milhão de anos na zona convectiva, pelo fato de ser constantemente absorvida e reemitida logo em seguida. Por isso, e considerando os oito minutos que a luz do Sol leva a chegar até nós, podemos saber com segurança que a luz e o calor que enxergamos e sentimentos num dado momento teve sua origem no núcleo do Sol há cerca de um milhão de anos!

A zona convectiva apresenta as seguintes características: seu raio é de cerca de 200.000 km – – e sua temperatura, na camada superior orça em torno de 5.700 K e apresenta uma densidade menor que a da água, da ordem de – cerca de da atmosfera terrestre ao nível do mar.

A fotosfera solar apresenta uma temperatura de cerca de 6.000 K e sua densidade de partículas é de , ou seja, cerca de da densidade da atmosfera terrestre ao nível do mar.

Por fim, temos a atmosfera solar, também chamada corona. Ela tem sido objetivo de estudos contínuos pelos Astrofísicos por apresentar uma característica singular: a temperatura dela é imensamente maior do que a da superfície do Sol, o que vai contra todo o nosso senso do comum: quanto mais afastamos a mão da superfície da boca de um fogão, mais cai a temperatura – mas não é o que acontece com a corona: estando acima da superfície, tem uma temperatura que varia entre 1-20 milhões de K! Há, até hoje, três propostas para resolver este problema, que discutiremos em detalhes em postagens futuras; são elas: 1- Chuva Solar; 2- Nano-flamas Solares; 3- Ondas Magnéticas Alfvén.

Principais Características

Além das características estruturais já apresentadas, o Sol tem muitas outras que devem ser conhecidas, como rotação e velocidade orbital, campos magnético e gravitacional, composição química, dentre outros. Veremos algumas agora.

Podemos de início ficar pasmados de que a rotação do Sol não é a mesma em todo o astro: isto se dá pelo fato de que o Sol não é um corpo rochoso e firme, mas sim composto de plasma – gás altamente ionizado: um quarto estado dos muitos estados físicos em que a matéria pode se apresentar. Portanto, ao medir a rotação do Sol constatamos que há, basicamente três períodos básicos: no equador (25 dias), nos pólos (34 dias)  e aos 16° de latitude (25 dias e 9 horas), sendo que o período médio é de 25 dias.

Quando sabemos que o Sol é uma esfera de gás ionizado e incandescente somos levados a perguntar o porquê de esse gás não se dissipar ao espaço. Isso acontece por causa da Gravidade e da pressão interna da Estrela, que a mantém em equilíbrio hidrostático. Basicamente, esse equilíbrio acontece quando as forças gravitacional e de pressão são equivalentes em força: ora, como são forças em sentido contrário, ao se igualarem criam a condição de equilíbrio necessária à existência da Estrela. A força gravitacional à superfície do Sol é , ou seja: 28 vezes mais forte que a Gravidade terrestre! Com isso, a velocidade de escape fica da ordem de . O campo magnético solar também é extremamente forte.

Nossa Estrela, como qualquer Estrela, descreve uma orbita em torno do núcleo galáctico. A velocidade de translação do Sol em torno do núcleo é de , e sua distância do núcleo é de , ou 26.000 Anos-Luz. Com isto, o período de translação do Sol é de anos, o que equivale a cerca de 225-250 milhões de anos. Ao longo de seus bilhões de anos de idade, o Sol já realizou cerca de 25 voltas em torno do núcleo galáctico.

O Sol é uma Estrela tipo G, tem uma massa kg (333.000 vezes a massa da Terra), um volume (1.300.000 vezes o volume da Terra), uma luminosidade , e dista 150 milhões de km da Terra, com uma magnitude absoluta de 4.85.

Sua composição química é a seguinte: , , , , , , , , , . Esses valores são obtidos através da análise espectroscópica, i.e., decomposição da luz através de um espectroscópio, seguida da análise dos dados carregados pela luz.

Evolução Solar pós-Seqüência Principal

Como vimos anteriormente, o Sol está na fase de Evolução Estelar que chamamos Seqüência Principal. Ele ainda estará nesta fase por mais uns 4.5 bilhões de anos. Após isso, seu futuro e evolução dependerão de sua massa final. A massa final de uma Estrela depende basicamente de sua massa inicial, pois durante a sua longa trajetória evolutiva uma Estrela perde muita massa, principalmente devido aos ventos solares, e o Sol, como Estrela normal que é também tem seu mecanismo de perda de massa, embora em seu caso a perda de massa não se dê de forma tão intensa quanto, por exemplo, no caso de uma Estrela Wolf-Rayet.

Basicamente podemos dizer o seguinte: para massas iniciais teremos massas finais até , e o Sol está incluído neste caso. Como toda a vida de uma Estrela, do nascimento à morte, depende de sua massa, podemos concluir que o Sol, na fase pós-Seqüência Principal, aumentará consideravelmente seu raio, que não dificilmente chegará mesmo até aqui na Terra, e assim, como Gigante Vermelha, ficará por alguns bilhões de anos. Nessa fase ele terá esgotado todo o seu H, e estará, então, gerando energia através da queima do He, que tinha sido criado durante a queima do H e armazenado para uso posterior. O He, então, é queimado e transformado em C, que por sua vez também é estocado.

Após a queima do He o Sol entrará em colapso e explodirá, lançando ao espaço a maior parte de seu material. O núcleo solar, porém, se manterá intacto, denso, quente, pequeno: uma Anã Branca terá surgido como resultado final do colapso do Sol. Anãs Brancas têm um tempo de vida maior que a idade do Universo: levam trilhões de anos para perderem toda a sua luz e calor, e se transformarem em Anãs Negras. Esta, de forma básica, será a condição do nosso Sol nos bilhões de anos futuros.

Bibliografia

- Introdução à Estrutura e Evolução Estelar – Walter J. Maciel.

O Sistema Solar – O Nascimento do Sistema Solar

Introdução

Desde a infância sabemos algo sobre o Sistema Solar, onde fica o nosso Planeta Terra. Mas até onde o conhecemos de fato, e até onde o que ouvimos sobre ele é verdade? Muitas estórias que ouvimos na infância não estão de acordo com a realidade dos fatos: Estrelas Cadentes não são Estrelas de fato, por exemplo, e o Sol não é uma das maiores Estrelas de nossa Galáxia – muito pelo contrário, ele é uma das mais comuns.

Muitos sequer conhecem a estrutura básica de nosso Sistema Solar, que nos possibilita a vida e, até hoje em dia, é o único local conhecido a abrigar vida de fato, aqui na Terra, e o único local que está em condições de abrigar vida, mesmo que microbiana, como em Marte, Europa e Titã.

Este artigo abordará toda a Astrofísica do Sistema Solar: quando e como surgiu, porque tem a configuração que tem, quais são os seus componentes, qual a sua estrutura, qual o seu destino?

Para tanto dividirei o artigo em algumas partes, que serão organizadas da seguinte forma: 1- O nascimento do Sistema Solar (tratando sobre quando e como ele surgiu e se estruturou); 2- O Sol (contendo dados sobre ele, bem como problemas em aberto, como o da Corona Solar Superaquecida); 3- Os Planetas Internos (contendo uma descrição de todos os Planetas Rochosos); 4- O Cinturão de Kuiper (tratando sobre Asteróides); 5- Os Planetas Internos (contendo detalhes sobre os Planetas Gasosos); 6- Planetas Anões, Nuvem de Oort e além (tratando sobre Planetas Anões, Cometas e sobre as fronteiras do nosso Sistema Solar).

A Estrutura do Sistema Solar

O Sistema Solar, como o próprio nome diz, é um Sistema Físico onde o Sol, nossa Estrela, é não só o centro desse Sistema, mas também o responsável por manter todo ele coeso e unido: sem a imensa Força Gravitacional do Sol não haveria órbitas, por exemplo: os Planetas, Asteróides e Cometas que compõem o Sistema Solar simplesmente seguiriam em linha reta indefinidamente, ou até serem aprisionados por algum corpo celeste com Gravidade suficientemente forte. O tamanho do Sistema Solar depende de qual referência usamos: caso for em termos de até onde a Força Gravitacional do Sol é influente, então podemos ter uma aproximação de cerca de 150.000 U.A – 1 U.A equivale a 150 milhões de quilômetros –, ou 2 Anos-Luz – Ano-Luz não é uma medida temporal, mas métrica: é a distância em que a luz, viajando a 300.000 km/s (ou c) leva um ou quantos anos for especificado pelo número precedente para percorrer. Caso seja escolhida a Nuvem de Oort, então teremos um resultado de cerca de 50.000 U.A. As Sondas Voyager 1 e 2 e Pioneer 10 e 11 já estão se aproximando das fronteiras finais do nosso Sistema Solar, pois estão no final da Heliosfera dele.

Depois do Sol temos os oito Planetas: na parte interna do Sistema, ou seja, na parte mais próxima do Sol, temos os quatro Planetas Rochosos: Mercúrio, Vênus, Terra e Marte. Na parte externa, mais afastada, temos os quatro Planetas Gasosos: Júpiter, Saturno, Urano e Netuno. Havia, também, outro objeto, que por muito tempo foi considerado um Planeta: Plutão. No entanto, após uma análise prolongada e cuidadosa chegou-se à conclusão de que suas características eram de um Planeta Anão, tais como não ter “limpado” sua órbita. Planetas Anões não devem ser confundidos com Cometas, Asteróides ou Satélites – estes últimos têm características bem diversas, que lhes são próprias. Atualmente estão plenamente identificados como tais 5 Planetas Anões: Ceres, Plutão, Haumea, Makemake e Éris, sendo que, destes, Ceres está próximo dos Planetas Internos, entre Marte e Júpiter, no Cinturão de Kuiper; os demais estão além da órbita de Netuno, no que chamamos de Disco Disperso.

Entre os Planetas Internos e Externos há uma espécie de fronteira, que chamamos de Cinturão de Kuiper, nome dado em homenagem ao Astrônomo Gerard Kuiper: basicamente ali se concentram os milhões de Asteróides do nosso Sistema. Ali, além de Ceres, um Planeta Anão, estão alguns objetos muito famosos, como 4 Vesta, 2 Palas 3 Juno e 10 Hygiea. 4 Vesta é o segundo Asteróide mais massivo, com um diâmetro de cerca de 530 km; 2 Palas tem um diâmetro de cerca de 530-565 km, mas é 20% menos massivo que 4 Vesta; 3 Juno foi o terceiro Asteróide descoberto, em 1 de Setembro de 1804; 10 Hygiea tem um diâmetro de cerca de 350-500 km, sendo o quarto maior objeto na região.

Além dos Planetas e Planetas Anões Externo existe o que chamamos de Nuvem de Oort, nome dado em homenagem ao Astrônomo Jan Oort: uma espécie de Nuvem esférica: basicamente é uma região onde abundam trilhões de Cometas, todos com órbitas em torno do Sol, obviamente. Alguns dos objetos mais famosos dessa região são Sedna e 1P/Halley. Sedna é um possível candidato à Planeta Anão; Halley é seguramente o Cometa mais famoso da História e seu período orbital é de 76 anos.

Os objetos do Disco Disperso e da Nuvem de Oort são comumente chamados de Objetos Trans-Netunianos (em Inglês: TNO – Trans-Neptunian Objects).

Origem do Sistema Solar

O Sistema Solar surgiu há cerca de 4.5-4.6 bilhões de anos: é o que nos revela com absoluta precisão algumas técnicas Geológicas e Astronômicas, como a Datação Radiométrica.

Havia por aqui uma Nuvem Molecular Gigante, composta basicamente por Hidrogênio, que acabou colapsando gravitacionalmente devido a ondas de choque. Essas Nuvens têm um diâmetro de até 100 Anos-Luz (), massa altíssima, da ordem , em oposição a uma densidade muito baixa, da ordem , onde P são as partículas; a temperatura inicial delas também é baixa, da ordem de 10K.

Após o colapso gravitacional – que analisaremos em um artigo específico – a Nuvem passou a rotacionar, se contraiu e fragmentou: em seu centro formou-se uma Proto-Estrela, e em suas bordas Proto-planetas. A Proto-Estrela, com o passar do tempo, foi ganhando temperatura e luminosidade, até que, em dado momento, tendo a massa inicial necessária – cerca de –, começou a produzir energia via Fusão Nuclear e entrou na fase da Evolução Estelar que denominamos Seqüência Principal. Por essa época os Proto-Planetas também completaram sua evolução inicial e tornaram-se Planetas de fato.

No entanto, sobre este ponto, convém solucionar uma curiosidade: o porquê de o nosso Sistema Solar ser configurado da forma como ele é, ou seja, Corpo Gasoso (o Sol) Corpos Rochosos (Planetas Internos) Corpos Gasosos (Planetas Externos). Na fase Pré Seqüência Principal o Proto-Sistema Solar tinha diversas temperaturas: quanto mais próximo da Proto-Estrela mais quente, de modo que, na parte externa do disco de acresção criado em torno dela a temperatura orçava em torno de 400K, ao passo que na parte interna a temperatura era de cerca de 1000K. Isto fez com que as partículas não-metálicas – em Astronomia qualquer partícula mais pesada que o Hélio é considerada “metal” –, que têm um uma temperatura de ebulição menor do que as partículas metálicas caíssem em direção à Proto-Estrela, tornando a parte interna do disco de acresção predominantemente composta por partículas metálicas. Usando uma analogia imprecisa podemos dizer que isso acabou criando como que um escudo que impediu as partículas não-metálicas que estavam na borda externa de caírem também rumo à Proto-Estrela. Ora, quando a evolução inicial do Sistema Solar estava findada e ele havia entrado, junto com o Sol, na fase Seqüência Principal, tivemos a consolidação desse Sistema interessante, no qual entre dois montes de corpos predominantemente Gasosos há, também, um conjunto de corpos predominantemente Rochosos.

Perfil Rotacional de Galáxias

Um problema que intriga a diversos astrônomos é justamente sobre o perfil rotacional de galáxias, onde se mede a distribuição de massa de uma galáxia (e, consequentemente, a massa da mesma), e sua velocidade radial.

Primeiramente, realiza-se a observação da galáxia em questão utilizando o método de espectroscopia ótica, onde, com um instrumento ótico chamado espectrógrafo acoplado ao telescópio, reproduz-se a imagem em um CCD (Charge-Coupled Device) através de um fenda.

Exemplo de posicionamento de uma galáxia na fenda do Espectrógrafo

Onde a imagem obtida para ser então reduzida é:

Exemplo de imagem obtida pelo espectrógrafo Cassegrain

Então, na redução dos dados, basicamente se mede o desvio Doppler de diversos pontos das linhas espectrais dos dois lados em relação ao centro da primeira imagem (consequentemente, centro da galáxia), obtendo então as velocidades destes pontos em relação ao centro. Feito isso, pode-se calcular o perfil rotacional da galáxia e a distribuição de massa da galáxia através de

Onde v² é a velocidade acima medida, ao quadrado; M a distribuição de massa em relação ao centro; e R a distância da distribuição de massa em relação ao centro. É fácil de perceber que, tendo como exemplo a primeira imagem e a equação acima, a distribuição de massa estaria concentrada no centro da galáxia, e quanto maior a distância deste centro, menor seria a distribuição de massa.

Perfil Rotacional de uma Galáxia Espiral: (A) Valores Esperados (B). Valores Medidos

Porém, não é o que ocorre. A figura acima ilustra o valor previsto (A) para a curva, dado a equação acima, enquanto a curva (B) mostra o valor real medido, dizendo-nos que “existe matéria onde não há matéria”, i.e., existe alguma espécie de matéria na qual apenas interage gravitacionalmente e que mantém toda a galáxia coesa, caracterizando uma curva “achatada”, e que essa matéria não emite qualquer tipo de radiação eletromagnética. Essa é a descrição dada a matéria escura, na qual explica a curva observada e o porque da galáxia se manter coesa.

Esse resultado não é único e tampouco “seletivo” – em diversas observações de galáxias do tipo espiral, o perfil observado é exatamente o que foi descrito aqui. Já, inclusive, foi aferida e calculada a curva de rotação da Via Láctea, onde foi confirmado a presença de matéria escura e que ela é dominante em nossa galáxia. Por outro lado, é importante perceber que, no Sistema Solar (SS), os períodos de translação dos planetas, assim como de outros corpos do SS, são diferentes (Plutão, por exemplo, tem o período de translação de 248,9 anos terrestres), evidenciando a ausência de matéria escura no SS.

Anãs Brancas – Uma Breve Introdução

Introdução

Anãs Brancas são remanescentes Estelares com características muito interessantes, como, por exemplo, densidade, temperatura, luminosidade e período de vida extremamente altos em oposição ao tamanho e a massa, relativamente baixos. São objetos extremamente interessantes de serem estudados, principalmente em sua ocorrência em Sistemas Binários. Anãs Brancas são comuns: cerca de 97% das Estrelas terminarão como Anãs Brancas

Como Surgem Anãs Brancas

Estrelas que, na fase final de suas vidas, i.e., pós Seqüência Principal, tenham uma massa de até irremediavelmente irão colapsar formando uma Anã Branca. Para massas entre temos um colapso mais violento, que gera uma Estrela de Nêutrons; e para massas temos um colapso violentíssimo e completo, que termina por criar um Buraco Negro.

Uma Anã Branca, por ter, no final de sua vida, uma massa de até , ao colapsar, têm uma pressão interna gerada pela Gravidade menor do que aquela típica de Estrelas de Nêutrons. Isso faz com que o gás plásmico que compõe as Estrelas seja comprido mais “suavemente”, por assim dizer, o que o transforma num gás de Elétrons degenerados, que obedecem ao Princípio de Exclusão de Pauli, que basicamente mostra-nos que dois Férmions (e.g., Elétron, Nêutron, etc) não podem ocupar um mesmo estado quântico simultaneamente – um estado quântico é um objeto matemático que descreve um sistema quântico –; no entanto o Princípio de Exclusão não rege os Bósons (e.g., Fótons), pois estes são regidos pela Estatística de Bose-Einstein, não pela de Fermi-Dirac. O Princípio de Pauli é, pois, o responsável pelo equilíbrio tanto de Anãs Brancas quanto de Estrelas de Nêutrons – sem eles o colapso gravitacional dessas Estrelas não seria interrompido, resultando, por fim, num colapso completo, i.e., na formação de um Buraco Negro.

No entanto, devemos notar que a massa final de modo algum diz respeito, também, à massa inicial, visto que qualquer Estrela, durante sua Evolução, perde muita massa, principalmente por causa de ventos estelares; a presença de determinada Estrela num Sistema Binário também alterará sua Evolução, principalmente em casos de Sistemas Binários Fechados, onde uma das Estrelas “rouba” massa de sua companheira, por causa de sua Gravidade e proximidade – neste caso não há perda real de massa, mas sim troca da mesma, o que ainda assim altera a Evolução Estelar. Portanto, para que uma Estrela, na fase final de sua Evolução, possa ter massa suficiente para colapsar numa Anã Branca, deve ela ter uma massa inicial de até . Para Estrelas com massa inicial entre a Estrela colapsará em uma Estrela de Nêutrons, ao passo que para massas iniciais o colapso gravitacional pós Seqüência Principal resulta em um Buraco Negro.

Principais Características

Anãs Brancas têm algumas características singulares, que as diferenciam de outros tipos de Estrelas. Uma dessas características mais surpreendentes é o tempo de vida incrivelmente longo delas. Uma Anã Branca, com o decorrer do tempo, vai se resfriando e, por conseqüência, perdendo luminosidade. Chegará um momento, portanto, em que ela se transformará em uma Anã Negra, que é justamente uma Anã Branca que, depois de muito tempo, perdeu toda a sua luminosidade, tornando-se um corpo frio e invisível. Esses objetos finais não devem de modo algum serem confundidos com Buracos Negros, pois esses últimos, além de serem providos de um Horizonte de Eventos, têm, também, uma série de características muito bem definidas; fora o fato de que um Buraco Negro é um remanescente de Estrelas muito massivas, o que não ocorre com uma Anã Branca, como já vimos. Tampouco devem ser confundidas com Estrelas Negras, que seriam as primeiras Estrelas do Universo Primitivo, compostas por Matéria Escura.

Para termos idéia de tal objeto – uma Anã Negra – podemos fazer uma comparação com uma Anã Marrom, que é uma Estrela que não teve massa suficiente para iniciar sua fusão nuclear e que, por isso, tem baixa luminosidade e temperatura. A temperatura de uma Anã Marrom é de e sua luminosidade . Uma Anã Negra, porém, não tem mais luminosidade, e sua temperatura estaria em torno de 5K. Segundo o modelo teórico o tempo que uma Anã Branca leva para resfriar-se até tal temperatura é de , o que equivale a alguns trilhões de anos. Disto decorre que, no nosso Universo atual, com seus 13.7 bilhões de anos, não existem ainda Anãs Negras, embora, no futuro, certamente elas irão existir. As Anãs Brancas mais antigas têm em torno de 12 bilhões de anos, e são muito importantes para uma estimativa da idade do Universo, junto com a medição da idade dos Aglomerados Estelares e dos elementos químicos.

O raio de uma Anã Branca é da ordem do raio da Terra (6.371.0 km), mas pode chegar até duas (2) vezes esse raio. Considerando, junto com o raio, que a massa de uma Anã Branca pode chegar a – no caso de Sirius B, por exemplo – tem-se que a densidade dessas Estrelas pode chegar a , o que equivale a cerca de duzentas mil (200.000) vezes mais densidade do que a Terra, que tem ! A Gravidade superficial pode chegar a cem mil (100.000) vezes a Gravidade terrestre, e a força de seu campo magnético é de – sobre este ponto há que se ressaltar a existência de Anãs Brancas Magnéticas, preditas pela primeira vez em 1947 pelo Físico Patrick Blackett: basicamente são Anãs Brancas com um campo magnético muito extenso.

Ademais, a temperatura de Anãs Brancas pode chegar a 150.000K, decaindo com o tempo. Sua luminosidade também é elevada: Sirius B, por exemplo, tem uma luminosidade da ordem .

A velocidade de rotação dessas Estrelas também é muito alta.

Tipos de Anãs Brancas

Existem vários tipos de Anãs Brancas, e sua classificação depende basicamente de sua composição química. São elas dA, dB, dC, dO, dZ, dQ e dX. O tipo dA tem linhas de H presentes e nenhuma linha de He I ou metais; o tipo dB tem linhas de He I presente, mas nenhuma linha de metais ou H; o tipo dC tem o espectro contínuo com poucas ou nenhuma linhas visíveis; o tipo dO tem fortes linhas de He II com presença de He I ou H também; o tipo dZ tem apenas linhas de metais presentes (ausência de linhas de H ou He); o tipo dQ tem linhas de C presentes; e o tipo dX tem o espectro inclassificável.

Há, também, um segundo modo de classificação, que dá ênfase para, por exemplo, o tipo de campo magnético. Segundo essa classificação temos os tipos P, H, E e V. O tipo P é uma Anã Branca Magnética com polarização detectável; o tipo H não apresenta polarização detectável; o tipo E tem linhas de emissão presentes; o tipo V é variável.

Sistemas Binários, Novas e Supernovas

Um dos aspectos que mais interessam no estudo de Anãs Brancas é a ocorrência delas em Sistemas Binários, em especial quando ocorre a troca de material por parte da Estrela maior, o que permite o surgimento de Novas e Supernovas.

Estrelas têm um Lóbulo de Roche: uma região no espaço a partir da qual a matéria está ligada gravitacionalmente à Estrela. Num Sistema Binário o Lóbulo de Roche das duas Estrelas se mantém em contato pelo Lagrangeano Um (1), e isso permite que a Anã Branca, que tem uma Gravidade maior, roube matéria de sua companheira. Essa matéria rotaciona em torno da Anã Branca, criando um disco de acresção; à medida que faz isso vai caindo para dentro da Estrela e, com isso, a pressão e a temperatura dessa matéria aumenta na razão de sua maior proximidade com a Estrela. Quando essas temperatura e pressão são bastante altas dá-se início a uma reação termonuclear que emite um jato de luz cuja luminosidade pode chegar a – isso é uma Nova.

Há casos, porém, onde a matéria trocada chega a níveis tão altos que a massa da Anã Branca vai acima do Limite de Chandrasekar – – o que faz com que a Estrela entre em colapso gravitacional pelo fato de a pressão interna não ser mais forte o suficiente para parar o força gravitacional. Essa instabilidade aciona a fusão do Oxigênio e do Carbono, que ocasiona uma reação em cadeia que destrói a Estrela numa explosão tremenda! Uma tal explosão tem uma Magnitude de -19.3 e sua luminosidade pode chegar a , ou seja, pode chegar a cinco (5) bilhões de Sóis em termos de luminosidade – isso é uma Supernova.

Uma Supernova pode ejetar material ao espaço numa velocidade de até 30.000 km/s. Existem basicamente dois tipos de Supernovas: tipos I e II; Supernovas do tipo I podem ser subdividas em três classes: Ia, Ib e Ic. Supernovas tipo I são caracterizadas por não exibirem em seu espectro linhas de H, presentes no tipo II. O modo de classificação também é a composição química.

Supernovas tipo Ia exibem em seu espectro traços de Silício; Supernovas tipo Ib exibem Hélio no lugar; Supernovas tipo Ic não exibem nem Hélio, nem Silício.

Referências

Sites:

Supernovas

Anã Branca

Ask an Astrophysicist – Anã Branca (Introdutório)

Ask an Astrophysicist – Anã Branca (Avançado)

Anã Negra

Ponto de Lagrange

Lóbulo de Roche

Elétrons Degenerados

Rotação Estelar

Gigantes Vermelhas e Anãs Brancas

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Artigos:

Theoretical Model of a Magnetic White Dwarf

White Dwarfs Properties & The Degenerate Electron Gas

The Age and Colors of Massive White Dwarfs Stars

Chandrasekar Theory of Stellar Collapse